第六百四十章蒙日－安培方程（偏微分方程）（第1页）

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常见于黎曼几何的非线性偏微分方程。

是一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的monge-Ampere方程。

魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”

这个方程需要用动态图才可以演示出来。

卡拉比说：“一片贴在固定钢圈上的平坦塑料布。假定这片塑料布既没有刻意拉紧，也不会太松，那么当我们推挤这片塑料布时，它所形成的曲面会怎么弯曲或变化呢？如果是在中央处拉开，它会造成正曲率的向上隆起，这种蒙日—安培方程的解是“椭圆”型的。反过来说，如果塑料布的中心向内弯扭，曲面会变成曲率处处为负的鞍形，而其解是“双曲”型的。最后，如果曲率处处为零，则其解为“抛物”型。”

丘成桐知道，如果不管哪一种情形，要解的原始蒙日—安培方程都是一样的，但是必须用完全不同的技巧来解。

而上述三种微分方程里，我们分析椭圆型的技巧最为完备。椭圆型方程处理较简单的静止状况，物体不随时间或在空间中移动。这类方程用于描述不再随时间变化的物理系统，例如停止振动、回复平衡的鼓等。不仅如此，椭圆型方程的解也是三种里最容易理解的，因为当把它们绘成函数时，看来是光滑的，而且尽管在某些非线性椭圆型方程中会出现奇点，但我们几乎不会碰到棘手的奇点。

双曲型微分方程描述的是像永远不会达到平衡状态的波与振动。和椭圆型不同，这类方程的解通常有奇点，因此处理起来困难许多。如果是线性的双曲型方程，我们还可以处理得相当好（线性指的是当改变某一变数的值时，另一变数的值会成比例变化），但如果是非线性双曲型方程，我们就没有有效的工具来控制奇点。

抛物型方程则介于两者之间，描述的是最终会趋于平衡的稳定物理系统，例如振动中的鼓，但因还未到达平衡状态，因此必须考虑时间的变化。与双曲型相比，这类方程较少出现奇点，而且就算有，奇点也会慢慢趋于平滑，因此就处理的困难度而言，也介于椭圆型和双曲型之间。

然而，数学上的挑战还不仅止于此。虽然最简单的蒙日—安培方程只有两个变数，许多方程则有更多变数。有些方程已超出双曲的程度，有时称为超双曲型；关于这类方程的解，我们所知甚少。

卡拉比所说的：“一旦超出了熟悉的三种类型，我们就对方程的解毫无头绪，因为在此并没有物理世界的现象可资援引。”

由于这三类方程的难易度有所不同，迄今为止，绝大多数来自几何分析的贡献，都是关于椭圆型和抛物型的情况。

当然我们对三类方程都有兴趣，而且双曲型方程还有许多引人入胜的问题，像是完整的爱因斯坦方程。只要还有余裕，数学家当然是非常想要解决的。

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